Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 113 

 et des équations (411) et (412) on tire 



(413) V t'-^,i (/,) ^ V j -__=_'1_ ^ A-(« _ 1 ^ 0) A«- + 



In" 



Cela étant, distinguons les deux cas suivants: 



1) Pour rt = on déduit de l'équation (413) 



(414) y" V<^1 - y" j ^"A- n - log h /i (- 1,0) l ) 



= log 71 2 -*4 + /. = -^, log n-^k , 

 ,,=1 /i ;t 



où l désigne une quantité, qui est finie pour toutes les valeurs du nombre ?;. 



2) Pour a>0 on tire de l'équation (413) 

 n" ''"" f, i - 1 )''=" ''=" Si 



(415) 2 ^"-^ y {k) = " - 1; -;'^ + Wa -1,0)- A V ,^ /,»-. ^ ,,- . ^ , 



= if- + ^«''-'log» + /, , 

 ji a 



1 et Al étant des quantités finies. Des équations (414) et (415) résulte 

 ce théorème: 



Théorème XXVIII. Soit n un nombre entier positif et a une 

 quantité réelle, on aura 



i=ri ß 



2 k"''^(f'(k') = log ?i 4- A ^)Oî(r a = , 



6ît" , r\ ^ ^ 1 



= — 1- Il pour < a < 1 , 



jj a 



_ Qn" 

 ~1?J 



+ Â, n" ' log 71 2)our a > 1 , 



ou les quantités À sont finies pour toutes les valeurs du nombre n . 



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