Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 1 15 

 et, en posant dans le théorème VI 



Xin) 



6=1, (■„ = —, 

 n 



nous obtiendrons 



(421) \imwY ^li =y^m—l- ^ "' 



,c=o „=, n'^'" 7.=« log n 



Des équations (419), (420), (421) on déduit 



(422) lin. ü::x( l) + 2-;:(2)^+ L:^_+ü:ri^0O ^ i 



et 



MD^ + ;c(2) + . . . + J^^-^ 



(423) lim ^ ?- ^" = 1 ; 



n==c log n 



par là le théorème suivant est démontré. 



Théorème XXIX. Soit n ?m nombre entier positif et a ime quan- 

 tité positive^ on aura 



lim 



l''-'x(l) + 2'-'z(2) + . . . + n-';f(n) _ 1 



hm j = 1 , 



n=oo log n 



pourvu que les limites dans les premiers membres soient des quantités finies 

 et déterminées. * 



Pour a = 1 on déduit de ce théorème la formule 

 (424) lim _A 0)+^(2) + .^^j^(n) ^ ^ _ 



