Ueciierches sur lks valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 125 

 et par suite, en y appliquant l'équation (36), 



(401) Z -— ^ ^^ '' .^-y-K(-l-t,lj. 



Des formules (450), (456), (461) résulte ce théorème: 



Théorème XXXJIJ. En désii/nanf, par t une ijumitite réelle quel- 

 conque^ et en jjosant 



ipik) = Z cV , 



,1 



oh d eM égal successivement à tous les diviseurs positifs du nombre k, on 

 aura 



,_. ^(^)-A'a-i,o) + ^ 



2 , - = ~ -^ -K(-l-\-t,l~) pour t<0 , 



-- ,^0^]"g^ 2/l(-l,ü) ^ _ j-^_^ ü)^'-3/v(-l , 1) pour i = , 



,_ ^(^■)-jÂ'(-f-i,o) + AU-' 



2; ,_ Li_ =-__i-_/v(-i-^i)y>oHr i>o. 



*=i 



^'+1 «^ 



Maintenant nous évaluerons les sommes de quelques séries, dont 

 les termes contiennent les fonctions numériques 



'i„ , '/(■«) • /00 • 



Posons, à cet etfet, dans l'équation (363) . 



1 



n*+"' 



nous en obtiendrons pour uj > 



H = 00 1 



y ^ /"^ 



(462) 2 _5^__ = ''r^__" 



n=I '«■ y ^ 



»1 = 1 "■ 



