De la convergence du développement analytique de la fonction 



elliptipe p(u ; g, ; gj et du calcul de la valeur de l'argument 



u, la valeur de la fonction p(u) étant donnée. 



Le but principal de ce memoir étant d'exposer une nouvelle mé- 

 thode de calculer approximativement la valeur de l'argument i«, à l'aide 

 seulement du développement analytique de la fonction p(;u ; g.^ ; /./3), il 

 faut commencer par chercher les limites de l'espace de convergence de 

 ce développement, c'est à dire les conditions auxquelles doivent satis- 

 faire les coefficients mêmes g^ et _</3, afin que le développement suffise 

 pour calculer la valeur de la fonction p{u)^ lorsque Ton connaît la va- 

 leur de l'argument u. En effet, nous ferons voir, que le développement 

 analytique de la fonction |jO<) est aussi commode pour le calcul indirect 

 de la valeur de l'argument r«, la valeur de la fonction j) (it) étant donnée, 

 que pour le calcul direct de la valeur de la fonction ])(^u) elle-même, 

 lorsque l'on connaît la valeur de l'argument m. Ainsi, le développement 

 analytique de piii ; g^ ; 5/3) étant une série ordinaire de g^ , 173 et de 

 l'argument u, plus la valeur de u est petite, plus la série est commode 

 pour calculer la valeur de p(îi) — et vice versa. D'ailleurs, l'espace de 

 convergence étant dépendant des pôles de la fonction ^9 (if), plus on saura 

 restreindre l'espace du développement analytique nécessaire pour le calcul 

 direct ou indirect, plus le calcul sera commode. Voilà pourquoi la réduc- 

 tion du cercle de convergence du développement analytique de la fonction 

 li{u) doit précéder la recherche des conditions auxquelles doivent satis- 

 faire les coefficients g^ et (/3, afin que le calcul suivant soit commode. 



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