De la convergence du DÉVELOPPEM. ANALYT. de la FONCT. ELL. p{u) etc. 3 



L'avantage précieux de cette méthode de transformation des inté- 

 grales elliptiques, donnée par M. Weierstrass, consiste en ce qu'elle 

 dispense de la solution numérique de l'équation Ä^(.r) = 0, travail ordi- 

 nairement très-tédieux. La métliode donnée par M. Weierstrass pour 

 calculer la valeur a de l'intégrale (2), et dont nous citerons plus tard 

 les formules, exige la solution de l'équation 4:S^ — y^s — g^ = , ce qui 

 est naturellement beaucoup plus commode que de résoudre l'équation 



L'objet principal de ce memoir sera de proposer une nouvelle 

 méthode de calculer la valeur a de l'intégrale elliptique (2), méthode 



qui dispense môme de la solution numérique de l'équation 4.9^ (/, .s; 



_9j, = 0, et d'examiner dans quels cas cette méthode sera applicable 

 et à préférer. 



De même que u est une fonction de la limite supérieure s de l'in- 

 tégrale elliptique (2), s est une fonction de la quantité u. Cette fonction 

 elliptique de u , s = piii) , introduite dans l'analyse par M. Weierstrass 

 et définie par les équations normales (2) et (3), est la plus simple et la 

 plus importante de toutes les fonctions elliptiques, et par laquelle on 

 peut exprimer toutes les autres fonctions elliptiques, celles de plus haut 

 degré par l'équation ') 



(p(u , u, , «2 , . . . ?(-„) 



1 i^ (m) ]/(■«) . . 



1 p(:u,)pXu^) • 





p 



1 7<«-,)i^'('0 •••/"-"(".) 



M. Weierstrass, à l'aide de l'équation différentielle (3), a donné 

 le développement analytique de la fonction elliptique s = p (u) ^) 



(4) K.') = ^+.. +^ 





«^ + 



ffl 



2^ 3 . 5' 



u 



ou ') 



"t" ai 



^ffiffs 



5.7.11 



?r -f- 



(5) 2>('") = ^+ * + t'2"' + t'3 »*+••• + 0.«'^-"' + • 



1) Voir Schwarz: Formeln imd Lelirs. y,. 16. 2) p. 10. 3) (7) p. 11. 



