Axel Söderblom, 



l'où 



(6) /00 = -A.+ o +__^u + i^u^ + ... 



Il w . O I 



avec la formule de recursion pour les coefficients c^ — [k > 3} 



('^ •■■' = (2,+ lX>--i) -"■■"-' 1" - 2 . 3 , • • ■ (^ - 2)1 ■ ') 



Au besoin, le développement analytique (4) peut être complété à 

 l'aide de la formule de recursion (7). — 



La formule (4) donne la valeur de la fonction elliptique p(ii)^ 

 quand le point représentant la valeur de l'argument u est situé dans 

 l'intérieur de l'espace de convergence de la série (4). — L'espace de 

 convergence étant la même pour la série (4) et pour la série (6), qui 

 en est la dérivée, la formule (6) donne la valeur de p\u) pour les 

 mêmes valeurs de l'argument u pour lesquelles la formule (4) donne les 

 valeurs de la fonction elliptique principale 2){;u). 



A cause du premier terme — qui figure dans le développement 



analytique (4) de la fonction 2^{"-)i l'espace de convergence de ce déve- 

 loppement est d'une forme annulaire, limité de deux cercles concentri- 

 ques, décrits de l'origine comme centre, le rayon du cercle intérieur étant 

 aussi petit qu'on le veut — pour exclure le pôle u = . 



La fonction elliptique p{u) étant doublement périodique, p{u) re- 

 prend la môme valeur aux points homologues des parallélogrammes des 

 périodes. Ainsi, pour le calcul de la valeur de p(m), il suffit d'avoir 

 le développement de la fonction p{ii) pour le parallélogramme des pé- 

 riodes dont les sommets sont les points , 2c« , 2a( -f 2a»' et 2co'. 



En désignant par 2 to' la période 2 eu + 2 w' , co" est le centre 

 du parallélogramme des périodes. Donc, on a ^) 



2) (u) — p (2 (1)" — ti) 



la fonction p(u) étant une fonction paire. Ainsi, pour le calcul de la 

 valeur de p(?Oi il suffit d'avoir le développement de la fonction /?(tt) 



1) Voir Schwarz: (13), (8) p. 11. 



2) Voir Schwarz: § 9, p 10. 



