De la convergence du développem. analyt. de la fonct. ELL. p{u) etc. 5 



pour la moitié la plus prochaine de l'origine du parallélogramme des 

 périodes: pour le triangle dont les sommets sont dans les points , 2(o 

 et 2 a/ . 



De plus, si l'on prend les côtés , 2cw et , 2(o' pour axes des 

 coordonnées v et w , on a a = v -{- w . — Pour éviter la substitution de 

 v-\-w dans le développement de p{a)^ ou n'a qu'à employer quelqu'une 

 des équations par lesquelles on exprime le théorème d'addition de la 

 fonction p(iC) '), p. ex. 



p{v±w) = - 



p'{v)T p'{w) 



p{v)—p{w) 



.p(v)-p{w) 



Ainsi, pour calculer la valeur de p(ii)^ il suffit d'avoir les déve- 

 loppements des fonctions p(ii) et p\u) pour les arguments dont les 

 points correspondants sont situés le long des côtés , 2cü et , 2tü' du 

 parallélogramme des périodes. 



De plus, 2co et 2co' étant les périodes de la fonction ^j(«), on a 



p (v) = p{2u) — v) , p(io) = p{2 lo' — w) . 

 Donc, si 



I y I > I ty I ou I ;(7 I > I co' I 



on a 



I 2 tu — y I < I o) I et \ 2w' — w \ < \ eu' \ 

 Dans ce cas, si l'on pose 



y = to -|- Ü, et IV = œ' -\- ii\ 



on aura 



ou 



p(v) = p(u) — v^) et p(io) = p (œ ' ~w^) 



I eu — i.j I < I tu I et \ co' ~ ii\ \ < \ w' \ . 



Ainsi, pour calculer la valeur de la fonction elliptique p(ii) à 

 l'aide du développement analytique (4), il faut et il suffit, que le rayon 



1) Voir Schwarz: § 12, pp. 13, 14. 



