De la convergence du DÉVELOPPEM. ANALYT. de la FONCT. ELL. pill) etc. 7 



Parce que, en vertu de l'équation (2), 



■il? . i)(iC) = 1 + C'a«' + ''s«'" + ^'.i «.**+...-(- c^u^^ + • • • 



est une fonction réçfulaive, la série du membre à droite ne peut cesser 

 d'etre convergente que dans le point le plus prochain de l'origine oi^ le 

 produit u^ . p(a) devient infini, c'est à dire pour 



Il = 2(1) 

 ou pour 



u = 2iw^ . 



Ainsi, les conditions pour que la série (1) suffise pour calculer 

 directement — sans transformation analytique du développement — la 

 valeur de la fonction elliptique p(ii), la valeur de l'argument y étant 

 réprésentée par un point quelconque du premier quart du rectangle des 

 périodes, c'est à dire situé sur ses côtés, sont que 



I 2ty' I >cy et 2ty> | co' | 



c'est à dire que 



(3) ^>1 



œ 2 



et que 



(4) -^ < 2 



conditions qui sont bien d'accord. 



Pour que l'une des racines de l'équation 4 s' — g^s — ff^ = soit 

 zéro, il faut que <7g = . Dans ce cas la série (1) devient 



(5) p(ii) = -^ + Ca M- + c, M« + . . . + c,^u*^-' ^ 



u 



Parce que e^> e2> e^ et ^j + (?2 + ^s = , il faut que ^2 = 0, et 

 que fj = — ^3 . — De plus, puisque ') 



p(cy) = i\ p{w") = e., p(v}') = ^3 



1) Voir Schwarz: (16) p. 12. 



