8 Axel Söderblom, 



on voit de la formule (5), que, dans ce cas, 



piui') =p{iw.i) = —p{ii}) 

 ou 



Alors, le parallélogramme des périodes étant un carré, et les con- 

 ditions (3) et (4) étant satisfaites, la série (1) suffit bien pour le calcul 

 direct de la valeur de la fonction ^{u), quelque grande que soit la va- 

 leur de l'argument u — mais réduite en la valeur de l'argument corre- 

 spondant du premier quart du carré des périodes. — 



Le calcul des périodes 2 to et 2 a»' étant ordinairement fort pénible, 

 il nous reste à chercher les relations entre les coefficients g^ et g^ équi- 

 valentes aux conditions (o) et (4), pour savoir d'avance, si la série (1) 

 suffit pour la calcul de la valeur de la fonction ^^00, ou s'il faut en 

 faire une transformation analytique. 



Pour trouver de la manière la plus commode les relations entre 

 les coefficients y.^ et //3, équivalentes aux conditions (3) et (4), il faut 

 employer celles des formules de la théorie des fonctions elliptiques de 

 M. Weierstrass qui lient le plus directement les périodes 2a) et 2 va' 

 aux coefficients g^ et g^ . 



D'abord, on a ') 





(6) 



e '" 



Parce que, en vertu de la condition (4), — ^ < 2 , d'où e o)" 



10 



<&-" , OU — - 



(7) 

 pour que la série (1) soit convergente pour u = w' . 



1) Voir: Schwarz p. 42. 



