14 Axel Söderblom, 



La condition (a) diffère si peu de la condition de réalité des trois 

 racines e^ ^ ^2 , e^ de l'équation As^ — (j.,s — g^ — Ü 



,3 ^. -,2.97 



qu'il ne sera que dans des cas exceptionnels que le développement ana- 

 lytique (1) de la fonction p (u) ne suffira pas pour calculer directement 

 la valeur de jK'^-Oi quelque grande que soit la valeur de l'argument it, 

 mais réduite, s'il le faut, en la valeur de l'argument du premier quart 

 du rectangle des périodes. 



Les coefficients g<. et 73 étant réels, soit 



2» (/^ _ 27 //H < 



de sorte que deux racines de l'équation 4s' — «/gS — (73 = soient com- 

 plexes. 



Que la racine réelle soit désignée par e, . Pour employer les for- 

 mules de M. Weierstrass du calcul des périodes '), il faut choisir les 

 indices des autres racines de telle manière que e^ — e^ soit 'positivement 

 imaginaire. 



Donc, la période 2 («2 est réelle et positive; ^^(tUä) = t'2 . L'autre 

 période 2 10^ est ') 



o , ' , 2u>A -i A /" 1 



z («3 = (u., -)- 0)2 CÜ2 = — . log nat I — 



7T ^ //2 



OÙ w^ est positivement imaginaire. Ainsi, le sommet 2w2 du parallélo- 

 gramme des périodes est sur l'axe réelle, et le sommet 2 («3 est perpen- 

 diculairement au-dessus du point tu^ . 



Ainsi, la dernière équation fait voir, que A, C 1 . 



Pour que le développement (1) de la fonction p(u) suffise pour 

 le calcul direct des valeurs de p(ii) qui correspondent à des valeurs 

 réelles de l'argument u, il faut seulement qu'il soit convergent jjour 

 u = W.2 . — De la même manière que dans le cas 1°, on trouvera, que la 

 condition de la convergence de p (coj) est que 



I 2^3 j > ojä . 



1) Voir: Schwarz: § 46 pp. 63, 64. 



