Dela convergence du développem. analyt. de la fonct. ell. ])(ii) etc. 15 



Si l'on désigne 2^2' par 2u)i, de sorte que w > , la condition 

 de convergence de piy},,) sera que 



I CÜ2 -)- w i I > a>2 

 ou 



ml -\- 10^ y ix)\ 

 c'est å dire que 



ce qui est toujours le fait. 



Ainsi, chez les fonctions elliptiques ^>(«) au parallélogramme des 

 périodes, tout comme chez celles au rectangle des périodes, il \\y a plus 

 dune condition pour que le développement (1) de /»(m) suffise pour cal- 

 culer directement la valeur de ;>((0î si grande que soit la valeur de 

 l'argument u, mais réduite, s'il le faut, en la valeur de l'argument cor- 

 respondant du premier quart du parallélogramme des périodes. — Donc, 

 il ne nous reste qu'à chercher cette condition. 



Chaque argument du premier quart du parallélogramme des pé- 

 riodes peut être représenté par u =v-\-w^ où v est un point du côté 

 0,co2, et w un point du côté 0,fO:j. — Donc, p{oi.^ étant convergent, il 

 faut seulement que pCwg) le soit aussi. 



La condition théorique de ceci est que la longueur de la ligne 

 Ü,(ü3 soit plus petite que la longueur de la ligne 0,2wo, c'est à dire que 



^(22) V'^ + ^<2c»2. 



C'est la relation (22) qu'il faudrait transformer dans une relation 

 entre g.^ «t //3, analogue à la relation (a), p. 13. 



La valeur w de chaque argument situé sur la ligne droite 0,2cw3 est 

 une quantité complexe. L'emploi du développement (1) de la fonction 



j9(u) = — ^, — I f^ — ^'^ -j- • • • n'étant pas commode, si l'on y substitue 



Il ^ . D 



une valeur complexe de u, il vaut mieux de remplacer la valeur de ^j(î») 

 = j) (x -\- iy) , où < .!■ < cwo , et < y < co , par ') 



p{x + iy) = - 



p'{x) — p'(iy) 



n2 



p{x)—p{iij) 



— Pix)-p(^iy) 



1) Voir: Schwarz (5) p. 14. 



