20 Axel Söderblom, 



§ 3. 

 Déterminer pour laquelle des valeurs w et œ' le déYeloppement 



(1) »(«) = — + * + ^l^ it' + Jl^ u' 4 '-^ u'+ ^Ml „8|... 



K J i^J M^^ ^2^5 ^2^7 ^2^3.5^ ^ 2\ 5 . 7 . 11 ^ 



n'est pas convergent, si les coefficients g.^ et .93 ne satisfont pas à l'une ou 

 â Tautre des conditions de convergence complète du développement (1). 



Si (/2<27(/3, nous avons fait voir, que le développement (1) est 

 convergent pour 11= to^ 1 ^tug étant la période réelle. Donc, si les coef- 

 ficients (/2 et (/3 ne satisfont pas à la condition (6), ni à la condition (c) 

 non plus, p. 19, de convergence complète du développement (1), c'est 

 bien pour u = tu' que le développement (1) n'est pas convergent. 



Ainsi, il ne nous reste qu'à déterminer pour laquelle des valeurs 

 w et tu' le développement (1) de p(^l) n'est pas convergent, si les coef- 

 ficients 1/2 et 93 ne satisfont pas à la condition de convergence complète 

 (a) p. 19 de /?(«), lorsque t/l>27 gl, les périodes 2co et 2a>' formant 

 un rectangle. 



Dans ce cas, le développement est convergent ou pour « = co , 

 ou pour n = œ'. — Car la valeur de ic' . p(u) ne devient infinie que 

 pour II = 2cü , ou pour u = 2 tu'. Donc, si |a)'| > 2tu, c'est néces- 

 sairement 2j{w) qui est finie. — Si, au contraire, tu>|2tu |, c'est la 

 valeur de 2^"^) q"i ^st finie. 



Par conséquent, si gl > 27 i/l , sans que g'i > gl • 27.1632 66 . • • , c'est 

 pour la plus grande des m et | to' | que le développement (1) de j;(?<) 

 n'est pas convergent. — Ainsi, il ne nous reste qu'à examiner, s'il soit 

 possible de juger des valeurs des coefficients g^ et 93, laquelle des quan- 

 tités to et |tw'| est la plus grande; ou, si l'on fait to' = itJj , laquelle des 

 to et tô;, est la plus grande. 



Parce que e^ -\- e^ -f- 1-3 = , e^ > t'a > ^3 , deux des racines e ont 

 nécessairement le même signe. Si e^ et e^ sont positifs, le produit des 

 racines est négatif, de sorte que ,(/3 est aussi négatif. — De même, si 

 €2 est négatif, y^ est positif. 



Si (/3 est positif, on a ') h < Ih ', si g-i est négatif, on a ') /; > /«^ , 

 h et /ij étant définis par les équations ') 



0/ ■ , w „ ■ 1 



— nt ]^ -711 l 



h = e"' = — . /î, = e "' = . 



— i5r — 



1) Voir Schwarz § 45 p 63. 2) Voir Schwarz (2) p. 61. 



