22 Axel Söderblom, 



§4. 



Calculer la valeur de la fonction j(>'00, la valeur de l'argument u étant 



donnée, si les coefficients g^ et c/^ ne satisfont pas à l'une ou â l'autre 



des conditions de convergence complète du développement 



(1) pCu) = - + * + -^'— ir + ^J'^ h' + -^ u' + ^^1M3 H«i . . . 



^ ^ ' ^ ^ /r ^ ^ 2^ 5 ^ 2^ 7 ^ 2* . 3 . S''' ^ 2* . 5 . 7 . 1 1 ^ 



Quelque grande que soit \i(i\, on en calculera immédiatement la 

 valeur correspondante de la fonction p(«J, si l'on connaît le dévelop- 

 pement de p(m) en série ordonnée suivant les puissances de (ii — à), et 

 que «1 soit situé en dedans du cercle de convergence de cette série. 



Ce développement, de la forme 



(2) p 00 = p (a) + ii^ j/fa) + ^''-f pXa) + ... 



dépend d'abord du terme p(a). Mais calculer la valeur de p(a) n'est 

 pas plus facile que de calculer la valeur de p(i<), si a est situé en de- 

 hors du cercle extérieur de l'espace de convergence du développement 

 (1) de ]){u)^ exceptées j5(cu,) = e^ -, 2^(102) = ^2 et p{u)i) =^- e-j. 



Ainsi, c'est seulement en employant le développement (1) de j;(w), 

 le développement (6), p. 4, de p'(m),..-, en point de départ, qu'il sera 

 possible de développer la fonction p(^u) en une série de la forme (2), 

 c'est à dire, en en faisant une Mransforuiation analytiqueTi). Pour cela il 

 faut, que le point a soit situé en dedans de l'espace de convergence du 

 développement (1) de j){u) '). Si le point «i n'est pas situé en dedans 

 du cercle de convergence de la nouvelle série, il faut en faire une nou- 

 velle transformation analytique, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on aura 

 obtenu un développement de la forme (2) dans l'intérieur du cercle de 

 convergence duquel sera situé le point u^. 



En faisant les transformations analytiques du développement (1) 

 de p{ti) le long de l'axe des arguments réels^ les coefficients des nouvels 

 développements de p{u) sont toujours réels. 



En effet, une valeur réelle de îi, située dans l'intérieur de l'espace 

 de convergence du développement analytique (1) de p(ii), donne une 

 valeur réelle de p(u). Le développement analytique (6), p. 4, de p'(ii), 



1) Comparer la dernière partie de ce paragraphe. 



