De la convergence du développem. analyt. de la fonct. ELL. y;(H)etc. 23 



ayant le inOnie espace de convergence que (1), donne aussi une valeur 

 réelle de y/(«)- — D'ailleurs, comme ^) chaque dérivée d'ordre pair de 



j)(u) est une fonction entière de p(^u)^ ' ^^^^ ^ = !'].„,. \ j>Oi)\ , on a 



d^'"'^^ j) (lî) 

 ^"^^^ — 2i+i = Pent, [pill-)] • P'C'O- — Ainsi, tous les coefficients de 



Cltt 



(2) sont réels, tout comme les quantités (v/ — a) , (it — af , . . . \ et ainsi 

 de suite. 



Soit k un point sur l'axe positif des arguments imaginaires, et 

 qu'il soit en dedans de l'espace de convergence du développement (1) 

 de /^((0- Alors 



;>(« , k) = p{k) + ^i^ p'ik) + ^''-^ p'Xk) + . . . 



Les fonctions p^k) , p"(k)^ . . étant paires^ les valeurs en sont réelles. 

 Les fonctions p (Ji) , 2>"'(^) i ■ • étant impaires^i leurs valeurs sont imagi- 

 naires. — Ainsi, en substituant, dans le dernier développement, une va- 

 leur imaginaire de m, la valeur de pÇu , k) sera réelle. Car une puis- 

 sance paire de (u — k) est réelle et se multiplie par une fonction réelle; 

 une puissance impaire de (u — k) étant imaginaire est multipliée par une 

 fonction imaginaire, de sorte que chaque terme du développement de 

 p(ii , k) est réel. 



En substituant, dans ce développement de p(ii , it), (u — l) -\- l pour 

 M, où / est imaginaire, | ^ | > | ^' | , et / est situé en dedans du cercle de 

 convergence de la série de p(u , â;), on aura un troisième développement 

 de p(^u) , jj((i , i , /), en forme d'une série ordonnée suivant les puis- 

 sances de (it — /), dont les termes sont exactement de la même nature 

 que ceux de la série de p(ii , k); et ainsi de suite, tant qu'il soit pos- 

 sible de faire des transformations analytiques des développements déjà 

 obtenus de la fonction p{;u); ce qui est d'une grande importance pour 

 le calcul pratique. 



Que a soit un argument en dedans de l'espace de convergence 

 du développement (1) de jjÇu). Que b soit la valeur de la fonction /»(a), 

 de sorte que 



b =p{a) . 



1) Voir: ScHWAEZ p. 12. 



