26 Axel Söderblom, 



Le développement (1) de j^OOi ^^" besoin complété à l'aide de la 

 formule de recursion (7) p. 4, donne la valeur exacte de la fonction 

 2}{u)i si 'u est un point »dans le voisinage» de l'origine. La valeur de 

 2}{u) étant calculée, la formule (5) donne la valeur de p{2u), et ainsi 

 de suite. 



Cette méthode n'exige que l'emploi répété de la formule (5); elle 

 dispense même du calcul pénible des périodes de la fonction j>(m). 



§ 5. 



Chercher le lieu des arguments u auxquels correspondent des valeurs réelles 



de la fonction p(«<). 



1° Soit 1/1-27 ffl>0. 



Dans le rectangle des périodes de la fonction p{u)^ aux côtés 

 0,2w et 0,2w', où co' = {io^^ œ^>0, des valeurs réelles de la fonction 

 p{iC) correspondent 



1) aux valeurs réelles x de a (0<,r<2w) 



2) aux valeurs imaginaires iy de u (Ç)<y<2w^. 



S'il y a encore des valeurs de l'argument u dans le rectangle des 

 périodes auxquelles correspondent des valeurs réelles de la fonction p(m), 

 il faut que ces arguments soient complexes: u = x -\- iy (0<c7;<2tü, 

 < y < 2CÜ3). Alors, on a ') 



(1) p{^x + iy)=^\- 



p\x)--p \iy) 

 p{x)—p{iy) 



1« 



.jj(x)-p(iy) . 



Les valeurs des fonctions p(x) , jK^^) ? /^ G^O so"^* réelles. — />'(") 

 étant impaire")^ la valeur de p'Çiy) est imaginaire. Afin que la valeur 

 de [p'(x) ~ jj'(^l/)y ^*^'* réelle, il faut nécessairement que 



pXx) = 



ou que 



pliy) = . 



1) Voir Schwarz: p. 14. 2) Voir (6) p. 4. 



