28 Axel Söderblom, 



Si u = ,)' -f i y (0 < X < iu)., ; < ^ < a»), on a ') 



P (.1- + iy) - 



2 j p {x)2){iy) — - (/2 j j p (■'■) + p iiy) \-g^ — p'Çi') p'{il/) ■ 



2{p{x)-p[iy)Y 

 Donc, p{x + iy) n'est réelle que si 



p'if^P'^îf) = 



c'est à dire, si p'(.r) = 0, ou }>{iy) = 0. — Parce que p'{i»i) -= 0, on voit, 

 que p(cu^. -(- i_y) est réelle pour tous les _C y < w . — Pour u = {y 

 (0 < y < tu) p{iy) ne peut pas être = ; car alors p'{ti) aurait un zéro 

 sur la droite de 2cw2 à 2u).,-\-iio^ où aucun des points w^ , co" , to' 

 n'est situé. 



Ainsi, le lieu des arguments u, appartenant au parallélogramme 

 des périodes principal, auxquels correspondent des valeurs réelles de 

 p{u) est: le côté 0,2tO2, la droite verticale ui.,,2a)^ et la droite verticale 

 2 Wg , 2u)2 -\- il» . 



p(ii) décroît de -(- oo à éai quand a accroît de à Wj, pour ac- 

 croître de (^8 à + oo , quand u accroît de cw^ à 2cü2- — i^C'O décroît de 

 ^2 à — oo , quand a se meut le long de la droite verticale de cuj à 

 W2-\-iio. Enfin p{iC) accroît de — oo à f^, quand u se meut le long de 

 la droite verticale de 210^ à 2(x>^-\- iw . 



§ 6- 

 Simplification de l'équation 



p{it) = a 



a étant une quantité réelle. 



Dans le paragraphe 1 nous avons vu, que chaque intégrale 



(1) J = r ^^ = r-^^ 



J,„ SAx^ + 4:Bx' + %Cx'-{.^J^^ + ^ ^-.S^Å^) 



1) Voir Schwarz: (4) p. 14. 



