34 Axel Söderblom, 



Maintenant c'est à propos de revenir à ce que nous avons dit, 

 p 13, de la convergence complète du développement analytique de la 

 fonction s = p (?/-) 



(10) 1} (m ; ^., ; 93) = -i_ + * -^ u' + _^_ M- + â u'' < 



K j i \ ,j.,yi^ M^ ^ 2\b ^ 2^7 ^ 2^3.5' 



+ 2*. 5. 7. 11 ^ 



Si les coefficients ff., et (/3 satisfont à la condition gl > gl' 27.163267..., 

 (21), p. 13, la série est convergente pour 0<«<cü,-, 2(01 étant la pé- 

 riode réelle de i^iii ; g.;, ; g^. De substituer, dans le développement (10), 

 une valeur imaginaire u = iy , c'est, en vertu des équations (8) et (9), 

 la même chose que de substituer l'argument réel u = y dans le déve- 

 loppement 



(11) p (il ;</,;- ih) = J_ + * ^^ll- u' ^ u' + -^^^ m' + 



\ j i\ ,y^y jij ^, -r 2^5 2^ 7 ^ 2*. 3. 5' ^ 



3.(/2.V3 



2^.5.7.11 



«° + 



les coefficients //j et c/s de la série (11) ayant les mêmes valeurs que les 

 coefficients 9, et g.^ de la série (10). — La condition de convergence 

 complète du développement de ^^(w)? !/t > f/l ' 27.163265.., (20) p. 13, ne 



contenant que les coefficients de l'équation différentielle (—^) =is^—ij,s-g3, 



et le coefficient g^ n'y entrant que par sa deuxième puissance, (20) est 

 indépendante du signe du coefficient gl. Ainsi, le développement (11) 

 est convergent pour u = ù)^.^ si le développement (10) est convergent pour 

 M = Wj , 2tôj et 2cüi étant les périodes réelles des fonctions ^j(m ; g^ ; — g^") 

 et p (il ; g2 ; ^3) ; D'ailleurs 



I cws ( de p(m ; g, ; g-,) = Wj de p(^u ; g^ ; —^3) 



d'où il suit, que le développement (10) de p(;u ; ^2 ; ^3) est aussi con- 

 vergent pour M = t03 , si gl> gl ' 27.1632 67..., de sorte qu'il est conver- 

 gent pour II — œ^. 



Ainsi, dans le cas ^2 > 27 (/3, la fonction p(ii) ayant un rectangle 

 des périodes, il ne peut y avoir plus d\ine condition de convergence 

 complète du développement de p(u'). 



