De la CONVERGENCE DU DÉVELOPPEM. ANALYT. DE LA FONCT. ELL. p{u) etC. 55 



d'où 



d'accord avec la relation ') 



(«A - ^^) (^A - O 



;,(r + w)_t^^ 



PW - «A 



Ainsi, c'est bien formellement prouvé, que la formule (4) donne 

 les valeurs de p [-) et de pi — |- œj pour ej^ = e^ ; celles de p (-) et de 



Py-^ + ^') PO"i' <^A = ''2 ; celles de p (^-' j et de p (| + c« ) pour e^ = 



^3 



§ 10- 



Rectification de la courbe qui est le lieu d'un point mobile P, le rectangle 

 des distances duquel de deux points fixes F et F^ est égal au carré a-. 



La rectification de cette courbe est un problème aussi intéres- 

 sant en général, qu'elle est spécialement une question de la plus haute 

 importance dans la théorie des fonctions elliptiques. En eifet, on sait 

 bien, quel rôle a joué dans la théorie de ces fonctions la rectification de 

 la courbe spéciale qu'on obtient, si l'on suppose la distance des deux 

 points fixes F et F^ égale à 2a, c'est à dire la rectification de la 

 lemniscate de J. Bernoulli. 



Voilà, pourquoi nous avons jugé comme fort à-propos d'employer 

 en application des méthodes de calcul pratique que nous avons propo- 

 sées dans ce memoir la rectification de la dite courbe. Nous le ferons, 

 non seulement parce qu'on devrait croire, que la rectification de la 

 courbe générale conduirait à des intégrales abéliennes, mais parce que 

 les transformations que nous employerons pour le calcul font tant res- 

 sortir la merveilleuse flexibilité des formes des fonctions elliptiques de 

 M. Weierstrass. 



1) Voir Schwarz: (5) p. 23. 



