66 Axel Söderblom, 



La distance des deux points fixes F et F^ étant désignée par 

 2c, l'équation de la courbe générale est 



(1) r/ + 2(r^ + .-Oy^ + {,v' - c'f - a* = 



d'où 



(2) tf = -- .r' - c^ ± V4 c^ ir + a' . 



En différentiant l'équation (2), on aura l'expression de ds 



l/ 1 -f- ( — -] dx , mais cette expression étant impossible à transformer, 

 il vaut mieux de transformer l'équation (1) en 



(3) a* — c' = r' — 2 c' r' cos 2 & 



d'où 



(4) r- = (^ cos 2 ^ + Va* - c* siji" 2 0^ . 



Si, dans l'équation (3), on fait a = c, on aura l'équation de la 

 lemiiiscate de J. Bernoulli, et dans l'équation résolue (4) il faudra em- 

 ployer le signe supérieur. De même, si l'on suppose a>c^ il faut em- 

 ployer, dans l'équation (4), le signe supérieur, la courbe ayant la forme 

 d'un ovale, dont les points les plus distants du centre correspondent 

 aux valeurs r = ^a^ -\- f* . — Si, au contraire, on suppose a < c, la courbe 

 consiste en deux courbes distinctes autour des points jP et F^. Dans 

 ce cas il faut employer l'un et l'autre signe dans l'équation (4). — 

 D'abord, nous ne traiterons que le cas où a>c; ensuite, nous indi- 

 querons les changements nécessaires pour calculer la longueur de la 

 courbe, si a <c. 



Donc, l'équation à employer sera 



(5) r' = c' cos 2& + ia' — c* sin" 2 ^ 

 11 s'ensuit de l'équation (3), que 



(6) cos 2,'^ ='-1+4 



2c'r' 



