De la convergence du développem. analyt. de la fonct. ELL. p{u) etc. 57 

 Eu différentiant l'équation (5), on trouve, après quelques réductions, 



dr c'-r^ sin 2d^ 



d'oii 



di^ ]/a'-c''si7i'2d- 



âr sin 2S- 



di)- ]/ a' ~ c' sin' 2 ."^ 



d»\' , . .fdd- 



Parce que (— -j = l-\-r('--] , on trouve 



dr' & sin' 2d 



d'où 



ds a 



2 



(7) dr (fsin2i)- f' l/l Çr ^ + c' — «') 





\j{(^ci' 1- cy - r'\ {r" - {a' — cy\ 



le signe négatif étant emplo3'é, parce que nous voulons faire l'intégra- 

 tion du point où la courbe rencontre l'axe des a;, et où r a sa plus 

 grande valeur. 



C'est l'expression (7) de ds qu'il faut transformer, d'une manière 

 ou d'une autre, pour éviter des intégrales abéliennes, dont elle a la 

 forme dans l'équation (7). — Nous faisons cette transformation, en intro- 

 duisant la formule de substitution 



(8) r' = (a' + cj cos' (/> + (a' - c'Y sin' (f. . 



On voit immédiatement de cette équation, que l'angle auxiliaire 

 ([> a les valeurs et - simultanément avec l'angle t9-. Pour des valeurs 



ù 



intermédiaires, les angles & et ^ ne coincident pas. 

 Il résulte de l'équation (8), que 



(9) (a^ + ej - 7-* = 4 a' â sin' if r* - (a^ — cj = Aa'c' cos^ (f . 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8 



