58 Axel Söderblom, 



Par la substitution des expressions (9) dans l'équation (7), on la 

 transforme en 



(10) ''^ ' 



dr 2c^ sin cp cos ip 



En différentiant l'équation (8), ou aura 



(11) r^ = — 2 a^c^ sin <f> co« (c . 



d<p 



Par la combinaison des deux expressions (10) et (11), on aura 



'' ,y(a' + cj cos' (p + (a^ - c')' sin' <p 



d'où 



(12) s = a 



2 {'f dip 



y/ (a^ -f c^)- cos^ ^ _)_ (rt^ _ c'^y sin^ tp 



En comparant les équations (7) et (12), on voit que celle-ci est 

 plus simple, la variable indépendante n'y figurant qu'au deuxième degré, 

 au lieu du huitième dans l'équation (7), tandis que la racine du dénomi- 

 nateur de l'expression (12) est du quatrième degré au lieu de la racine 

 carrée de l'expression (7). Mais cet inconvenient n'est pas de consé- 

 quence, comme nous le ferons voir après. 



Avant de transformer l'intégrale (12) à l'aide des fonctions ellip- 

 tiques de M. Weierstrass, il faut exposer les transformations néces- 

 saires pour le calcul de la longueur de la courbe, si a<c. — Dans ce 

 cas, la courbe consiste en deux contours congruents autour des points 

 fixes F et F^. Pour les parties plus éloignées de ces contours on a à 

 employer l'équation (5) r^ = c^ cos 2 9- -\- yja^ — c* sin" Q t^ , dans laquelle 0- 



peut parcourir les valeurs de 6*^ = jusqu'à 2 & = arc sin — - du côté 

 supérieur, et du côté inférieur, de l'axe des x. 



