De la convergence du développem. analyt. de la fonct. Ehh. p{u) etc. 59 



Mais pour la partie plus prochaine du contour il faut employer, 

 au lieu de l'équation (5), l'équation 



(13) r' = c' cos 2ä — ]/a'- c* sin' 2 & . 



Dans cette équation, on doit faire accroître l'angle d- de iV- = 

 jusqu'à 2 d- = arc sin —^ ,, de l'un et de l'autre côté de l'axe des x. 



Ainsi, pour la partie plus éloignée do la courbe, l'expression de 

 la longueur de l'arc est la même que dans le cas a > c. — Quant à la 

 partie plus prochaine du contour, on a 



dr c'rsin2ô- 



d^ ya*-c*si7i'2â- 

 d'où 



2a'r^ 



(14) s= (-= 



]l{(a' + c'y - r'} {r' - (c' - aj} 



dr 



la longueur s de l'arc croissant avec la valeur du rayon r. 



Dans cette intégrale, on ne peut pas introduire la substitution (8). 

 En effet, pour yv = , on aurait r = ^c^ + d^ au lieu de r = Vc^ — a*. — 

 Au lieu de la substitution (8), on peut employer la substitution modifiée 



( 1 5) r' = (c' - dj coy x + i<^ + «')' ««"' X 



d'où 



( 1 6) (c' + ay -r'= 4:a'c' cos' / ''* - (^^ - «')' = 4 a' c' sin' x 



et 



(17) r^ = 2a^c' sin X cos X ■ 



dx 



Par les substitutions (16) et (17), l'intégrale (14) se transforme en 



(18) s = a' ^' ^^ 



V (^^ + ^^/ *"*^ X + (<^^ — ^*)^ (^os' X 

 intégrale de la même forme que l'intégrale (12). 



