De là convergence du développem. analyt. de la fonct. ELL. p(ii) etc. 61 

 Ainsi 



(21) v/l - , ^"'"W ■'^■"' 'P = ^^-^^ • 



(a- _|_ r'^)^ 



Quant à la transformation de c/r/), on a ') de l'équation (19) 



(22) cos cpd(p = §^/^ii)i23(u)du . 



Ainsi, il ne s'agit que de transformer de la manière la plus 

 avantageuse la fonction cos cf en fonction de ^«(w), Ii3(w), S-ni^)- — Pour 

 cela, on a d'abord 



(23) coscp = il-^i,(^u) . 



Pour se défaire de la racine carrée de cette expression, on n'a 

 pas d'autres moyens que d'employer les équations analogues à l'équation 

 déjà citée ol{ii) — al{u) -\- {i'2 — Cs)a^(^u) = ^ c'est à dire l'équation*) 

 ollu) ~ al{u) -{- {e^ — e^)o\u) =0 , . . . . En la divisant par al{u)^ on ob- 

 tient') è'Ï3(w) = 1 — (i«, — 03)^03 (")■ Donc, on voit immédiatement que, 

 pour pouvoir enlever la racine carrée de l'expression (23), il ne faut 

 que poser 



(24) 0, - ^3 = 1 . 

 Alors, on a 



(25) cos (p = Si3{u) . 



La combinaison des équations (22) et (25) conduit à la relation 



(26) d(p = §23(1'') d^<' 



et les équations qui déterminent les valeurs des racines e^ , e^ ^ e^ sont 



^1 + ^2 + ^3 = e^ — é?3 == 1 gj — ^3 = 



là' + cj 



équations compatibles et donnant des valeurs l'éelles aux racines 

 <?, > 62 > t'a . 



1) Voir: Schwarz p. 28. 



