Eine Methode zur Berechnung des Integrals etc. 7 



Grenzpunkte der Integralen verbinden. Wählt man den Integrations- 

 weg des Integrals J,!^J willkürlich, so kann man immer die Integrations- 

 wege von J,!,' , J'.j derart bestimmen, dass 



wird, wodurch der aligemeine Ausdruck von u zu 



u = u,±2lj[\ ±2mf,l 



vereinfacht wird. Wir können diesem Ausdrucke eine andere Form geben. 

 Wir denken uns nämlich zwei Wege von r^ zu i\ , welche zusammen eine 

 geschlossene Kurve bilden, die r-^ einschliesst. 



Werden nun die diesen beiden Wegen entsprechenden Integral- 

 werthe mit j'/^ , jjj bezeichnet, so findet man leicht, dass 



t''! t''' o t''3 



Jr, —J,, = ±^Jr, , 



wodurch der allgemeine Werth von u sich folgendermassen schreiben lässt 



oder ebensogut 



u = Ui ± 2lj'.l ± m [/,!,' -f- /,'J'J . 



Sind nun die Wurzeln ?•, , r., , r^ sämmtlich reell und ?-, > »'2 > /-3 , 

 so ist das Integral längs einer geschlossenen Kurve, die r, jj einschliesst, 

 vom Zeichen abgesehen, gleich dem doppelten Integral längs der reellen 

 Achse von — 00 nach r^ , und das Integral längs einer geschlossenen 

 Kurve um 7\ , rg gleich dem doppelten Integral von r, längs der reellen 

 Achse nach -j- 00 , also 



2 j:: = ±2rj ,2 Jii = ±2j:^ . 



Man hat also 



u = Ui±2l y^ ± 2 m J ° 



und die Ecken des Parallelogrammnetzes der Funktion s-^M werden 

 folglich durch 



±2ir'±2mj:, 



representirt, wobei j'' rein imaginär , J^^ reell wird. 



