Eine Methode zur Berechnung des Integrals etc. 11 



Wir wollen nun die Grenzen des durch die Gleichung (6) be- 

 stimmten Funktionszweiges Ui aufsuchen. Während z von — oo sich längs 

 der reellen Achse nach r^ bewegt, ist #, = Ö2 = tt , demnach 



z . s 1 



^' = y + X ~ ¥ ^^' ^^^ 



und 'Ç^ geht auf der reellen Achse von —00 nach !i 4- — , wobei 2 und 



ti gleichzeitig die betreffenden Punkte — s , — s^ passiren. Bewegt sich 

 z von rj nach i\ , so beschreibt u, die obere Hälfte des Kreises 



s )\ _ 2 _ s^ -4/; 

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W U'-4+'f = 



und zwar in negativer Winkelrichtuug nach der Formel 



z s i 



Für z = ?'i hat man c, = - V + -L . Wenn z , nachdem der Punkt 



2 4 ' 



?', in einem unendlich kleinen Kreis herumgegangen ist, dem Weg auf 



der unteren Seite der reellen Achse nach — cxj folgt, so beschreibt der 



Punkt 'Çi die untere Hälfte des genannten Kreises um nachher ebenfalls 



längs derselben Achse nach — 00 seinen Weg zu verfolgen. 



Die beiden grössten Wurzeln des 'Ç^ entsprechenden pi-integrals sind 



• Y ' - T + »^ ^^ ^ ■ 



Wie man leicht findet, liegen diese Punkte innerhalb des Kreises 

 (7) , und es folgt aus der obigen Auseinandersetzung, dass der einem 

 gegebenen 2-werth entsprechende Punkt Çj immer ausserhalb dieses 

 Kreises genommen werden muss. 



Wir schreiten nun zum Studium des Integrals. So lange sich z auf 

 der oberen Seite der reellen Achse und unendlich nahe an derselben 

 befindet, so ist 



t TT' 



V(^ - rO ( z-r,) ( z-,'^ = iR,R,R, e ' , 

 wo k.s= 3, 2, 1 ist, je nachdem man 



z < ''3 , J'a < ^ < j'ä , ri<z < i\ 



