Eine Methode zur Berechnung des Integrals etc. 17 



fi Äg für c = — 2 « -f (> den Werth 2p (p — 3«) erhält , welcher Werth 

 der grösste ist, den i?, /?2 für Punkte auf dem Bogen ?• r^ efhalten kann. 

 Während der Bewegung des Punktes z auf diesem Bogen hat man 



2W3' 0] -j- ös» / . ö-i 



a ^ ne , ' ~ " = A,' TT 4- -^ , 

 TV '2 2 



wobei k nacheinander die Werthe 1,0,-1 annimmt, während s um den 

 Bogen i\ r.j herumgeht. 



Liegt z an der konkaven Seite des Bogens und unendlich nahe 

 an demselben , so hat man 



?: =(-i + |Cos^,-lvïri^.Cos|) + i Sin^[2pCos^-V7?^ir,; . 



Für die konvexe Seite gilt dieselbe Formel mit geändertem Zei- 

 chen vor der Wurzel \l R^R, . Weil 2(>> ]/ R^ R.2 ist, so leuchtet ein, dass 

 z und Çi gleichzeitig die reelle Achse verlassen , um nach derselben 

 Seite zu gehen. Für z = _2K-f-(>, wenn man sich diesen Punkt als an 

 der konvexen Seite des Bogens liegend denkt , hat man 



_ p-« a/ q' — Squ 

 ^' 2 ^ ^ 2 



Hieraus folgt, dass, wenn z von — 2ot-fp nach )'j auf der kon- 

 kaven Seite, von da nach u auf der konvexen und endlich nach — 2a -\- q 

 auf der konkaven Seite läuft, der Punkt 'Çi währenddessen den Kreis (9) 

 in negativer Winkelrichtung beschreibt und auf diese Weise um die 

 beiden grössten Wurzeln des p, -integrals herumgeht. Kehrt endlich 

 z auf der unteren Seite der reellen Achse nach - 00 zurück, so thut 

 der Punkt u, dasselbe. 



Aus der vorhergehenden Untersuchung folgt jetzt die Identität 



/ 



d z r?i d'C 



L]/4:{z- r,) (z - r,) [z - r,) " lj4. (Ç, - r, )(Ç,- r,) (Ç^ -r/) ' 



wenn das rechte Integral auf die oben dargestellte Weise definirt wird . 

 Wir können jetzt auf das schon dargestellte die Fälle zurückfüh- 

 ren , wo a^O ist . 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Dps. Ser. III. 3 



