14 E. Solander, 



zwei angenäherte Wurzeln; um eine Verbesserung zu erhalten, setze mau 

 in der Gleichung x -{- â statt x und erhält (vergl. die Newtonsche Ap- 

 proximationsmethode) mit Vernachlässigung von fV* und J"'', die Verbes- 

 serung: 



jv _ _ .fC±pi) _ _ rp{p±mi) 



f(±pi) 2(/ + »0 



Neben p^ im Nenner kann aber m^ vernachlässigt werden, und somit 

 ergiebt sich: 



X, I r (. rm\ ■ 



2 p* 



Es ist leicht zu sehen, dass die dritte, reelle Wurzel m und r in 

 erster Potenz enthalten muss; vernachlässigt man alsdann von vorn 

 herein Quadrate und Produkte von m und r, so wird 



{x - x;){x — x^) = x' + rx + f . 



Dies in f(x) dividiert giebt als Quotient .r -|- ui — r mit dem Rest- 

 term höherer Ordnung — r{m — 7')x. Mit hinreichender Genauigkeit ist 

 somit die Solution der Differentialgleichung: 



& = Ae-^"'-'-^' + Be~^' cos j 2^ ( 1 - i^'^] t + a\ . 



I ^ zp ' \ 



Das erste Glied rührt offenbar davon her, dass die Anfangsbedin- 

 gungen nichts davon sagen, ob vor dem Beginn der Schwingungen der 

 Faden in der endgültigen Gleichgewichtstellung sich befand; ist dies der 

 Fall, muss A verschwinden. In der Tat, rechnet man die Zeit vom er- 

 sten Durchgang, so wird a = — i- , und für t = Q &f, = A = die anfäng- 



liehe Ablenkung von der schliesslichen Gleichgewichtslage. Der Aus- 

 druck für die beobachtete Schwingungsdauer ist nunmehr: 



n 



und somit die erheischte Korrektion <■ des Schwingungslogarithmus 



f = — Mod. = — Mod. . 



2/ 2 TÏ" 



