6 A. Bergeh, 



En faisant ii = — lu , u = — lo , u == — m" dans ces trois formu- 

 les, on en obtiendra, ^:»'(m) étant nne fonction impaire de ?<, 



(36) p'(w) = , //((//) = , ;/((//') = . 

 Des équations (2), (32), (34) on tire 



(37) lim "!**) = 1 , liin u-p(u) = 1 , lim u'pX'i) = — 2 . 



u = tl 11^0 u = 



Dans ce qui va suivre nous nous servirons d'une fonction ^(w), 

 définie par l'équation 



(38) 9(") = ^'00V(") ; 



appliquons à cette formule l'équation (31), nous en obtiendrons 

 (39) q(u) = ö'(»)' - <a)a"(H) , 



formule qui montre, que la fonction q(u) est une fonction entière de la 

 variable u. 



Au moyen de la fonction nÇu) on peut former toute fonction 

 elliptique d'après le théorème suivant, que nous supposons connu: 



Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction 

 elliptique aux périodes 2a> , 2io', qui a des zéros et des infinis donnés, sont 



1) que les zéros soient incongrus aux infinis, 



2) que le nombre des zéros et le nombre des infinis dans un j^araWeYo- 

 granivie des périodes soient finis, 



3) que le nombre des zéros dans un parallélogramme des périodes soit 

 égal au nombre des infinis, 



4) qu'en désignant les zéros par u, , Uj, , . . u, et les infinis par Vj , 

 v„ , . . Vr , on ait 



2 M^ — 2 ^;. = 2^' tu + 2Â:'a ' , 



k, k' étant des nombres entiers réels, 

 et toute fonction elliptique f/'(u) ayant les périodes 2(ü, 2 a)' et admettant des 

 zéros et des infinis, qui satisfont à ces conditions, est donnée par la formule 



„(„) = c,c^t,+2i',/)/jj'-oO^^^ ^ 

 OU c est une constante arbitraire. 



