Déduction des propriétés principalks de la fonction etc. 7 



En choisissant les zéros et les infinis de la fonction </(«) de la 

 manière que 



(40) Z"";.-Z'r, = , 



ce qui est toujours possible, eu ajoutant ù ces quantités des multiples 

 des périodes, on aura évidemment 



(41) /; =. , /.■' = U , 



et par suite on obtiendra dans ce cas pour hi fonction (f'{u) l'expression 

 suivante: 



(42) voo-cn "^''-"'^ • 



Désignons par v une constante, qui n'est pas une somme de mul- 

 tiples des périodes 2w, 2u)\ la quantité />(y) est évidemment finie, et 

 l'expression 



sera une fonction elliptique du second ordre admettant les zéros v, — v 

 et l'infini double 0; appliquons la formule (42) à cette fonction, nous aurons 



(43) p{ii) - p(v) = C . — ^ i , ■ 



En multipliant les deux membres de cette équation par u^, nous 

 en obtiendrons pour ït = 



(44) C=_ 1 , 



a{v)- 



et par suite nous déduirons de l'équation (43) 



.... ,. y. a(-u -\-v)g(u — v) 



(45) iKn) -P(v) = 4^_^__^^ , 



d'où l'on tire, en y appliquant l'équation (38), 



(46) o {u -\-v)o{u — v) = —G {uf {o [vYp (u) — q(v)} , 

 formule, qui subsiste évidemment pour toutes les valeurs de v. 



