8 A. Berg KR, 



La fonction p'(m) est une fonction elliptique du troisième ordre 

 ayant les zéros uj , w , — o" et l'infini triple 0; en appliquant la for- 

 mule (42) à cette fonction, on aura donc 



(47) p'(jii) _c ^('^- ^) "C'< - "^') <^C" + ^") 



Multiplions les deux membres de cette équation par m^, nous en 

 obtiendrons pour ?< = 



(48) C = - , ■ ,Vr-^ ' 



et par suite on tire de l'équation (47) 



, , , ^ _ 2ff(» -(o)a( // — t» >(» + (»j") 



^ -^ ^^ ^ a(w)a(w')ö(w")a(M)^ 



En remplaçant m par — u, on en obtiendra 



.„V,,^ _ 2<» + v})o (ii + (/j Xm - gj ") , 



des équations (49) et (50) on tire par multiplication et en y appliquant 

 la formule (45) 



(51) p'i^u; = 4(p(«) -P('»)) {iKn) -p(o>')) {pOO - pii,/')) . 

 Par introduction des notations 



(52) e, = p(w) , e, = y<i-/') , e, = ;<w') 

 et 



(53) .(/, = 4 (e^ + e,-\- e^) , r/^ = - 4 (e', e, + (', (^3 + e, e,) , g, =4:e,e^ e, 



l'équation (51) peut être mise sous la forme 



(54) pXuy = 4(K") - e,) (2<«) - e,) (p(«) - .3) 

 ou 



(55) p'iuY = åp{uy - g, piiCf - g,p{u) - g, . 



La fonction u^pQC)^ étant finie pour ti = 0, peut Être développée 

 en série ordonnée suivant les puissances croissantes de m, et par suite 

 nous aurons dans les environs de u = une égalité de la forme 



(56) u^p{u) = /1„ + A^ u -f A^ v^ + ^Ig u^ -\- . . . . 



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