12 A. Berger, 



Par là la proposition suivante est démontrée: 



Si l'on désigne par lo et lo' ihux quantité'^ différentes de zéro, dont 

 le quotient n'est pas réel, et par li un nombre entier, la série 



V ^__ 



sera pour h > 3 une fonction entière à coefficients rationnels des deux séries 



y' 1 y' i 



§2. 

 SUR LA FONCTION ELLIPTIQUE GÉNÉRALE DU SECOND ORDRE. 



Soit ip{u) une fonction elliptique quelconque du second ordre, et 

 désignons par 7«^, U2 les zéros et par î', , r.j les infinis de la fonction 

 (f{u); supposons en outre, que l'on ait 



(80) «1 + u.j = i\ + V., , 



il s'ensuit par application des équations (40) et (42), qu'on peut mettre 

 (f{u) sous la forme 



ce qui démontre ce théorème. 



Théorème I. Soit q{n) une fonction elliptique du second ordre ayant 

 les périodes 2a>, 2co' et admettant les zéros u, , Uj et les infinis Vj , l'j, et 

 supposons^ que 



M, + U.i = l\ + V., , 



la fonction q{\\) peut être mise sous la forme 



cf{u) = C . <"■-"■.)<"-".) ^ 

 a(M — v^)o(u — V2) 



en désignant par G une constante; et inversement cette expression sera une 

 fonction elliptique du second ordre, pourvu que la condition susdite soit rem- 

 plie et que les quantités n^ , Ug soient incongrues aux quantités Vj , Vg . 



