Dkductiox des propriétés principales de la fonction etc. 13 

 En remplaçant u par i\ + v^ — u dans l'équation (81), on en déduira 



(82) q(t\ + V, - a) = C . -) ?f-) ?- , 



et des équations (81) et (82) on tire 



(83) (fiv, + r, - u) = ./(«) . 



Théorème II. En désignant par (f(v\) une fonction elliptique quelconque 

 du second ordre ayant les infinis Vj , v^, on aura 



(f{v, J^v, — u) = (f(u) . 



Dans le cas, où (/(») a l'infini double w, , cette formule peut s'écrire 



(84) cf(2v,-a)^,f(u) . 



Soit maintenant P un parallélogramme des périodes quelconque, 

 et désignons par v^ et Ug l^s infinis de f/>(«)? situés dans le pai-allélo- 

 gramrne P. Distinguons les deux cas suivants. 



1) Si la fonction (f{u) a les deux infinis simples î'i, ü^, on peut, 

 d'après un théorème connu, mettre cette fonction sous la forme 



(85) <^(») = ^— + -^^+z(u) , 



u — i\ u — l'i 



où .4 et B désignent des constantes finies différentes de zéro, et où 

 x{u) désigne une fonction, qui est finie dans le parallélogramme P; par 

 suite /(i/'i) et /(l'a) seront des quantités finies. En remplaçant u par 

 u, _j_ u^ — u dans l'équation (85) et en y appliquant la formule (83), nous 

 en obtiendrons 



(86) (/(m) = - -^ iL_ + xdh + i'2 - ») , 



u — l'i u — V.2 



et des équations (85) et (86) on tire par soustraction 



(87) (A + B) (-^_ + _J— ) = /Xv, + ih - u) - /(«) . 



Le second membre de cette équation étant fini pour u = u, et 

 n = l'i, il faut, que 



(88) .4 + 5 = , 



