14 A. Berger, 



et, par conséquent, on obtiendra de l'équation (85) 



(89) (fill) = A (-i L_) + x{u) . 



2) Si la fonction (f>{u) a l'infini double Uj, cette fonction peut se 

 mettre sous la forme 



(90) ,.(„) = __^_ + _A__ +,(„). 



où 4 et jB sont des constantes finies, et où A n'est pas nul; la fonction 

 X{u) étant finie dans le parallélogramme P, il s'ensuit, que xi^^i) ^st une 

 quantité finie. En remplaçant dans l'équation (90) 11 par 2vi — ?«, et en 

 y appliquant la formule (84), on en obtiendra 



(9 1) <p{u) = , ^ ., ^— + Xi2 1\ - u) , 



et par soustraction on tire des équations (90) et (91) 



(92) _l^^x{2v,-u)-x{u) . 



u — Vi 



Le second membre de cette équation étant fini pour i* = Uj, il 

 faut, que 



(93) B = , 



et par suite on obtiendra de l'équation (90) 



(94) ip{u)= -^ +/(») . 



Des formules (89) et (94) résulte ce théorème. 



Théorème III. Soit (f'{u) une fonction elliptique quelconque du second 

 ordre; si la fonction (/»(u) admet les deux infinis simples Vi , Vj dans un 

 parallélogramme P des périodes^ (fj(u) est de la forme 



cfiu-) = A (-^ ^—) +xiu) ; 



