Déduction des propriétés principalks de la fonction etc. 15 



mais si la fonction a L'' infini double Vj dans le 2)arallélogr anime P, ip{\i) est 

 de la forme 



(« — Vl) 



dans les deux cas on désigne par A une constante, différente de zéro, et par 

 /(«) une fonction, qui est finie dans le parallélogramme P. 



D'après le théorème I toute fonction elliptique (p{u} du second 

 ordre peut s'exprimer au moyen de la fonction oÇu); maintenant nous 

 démontrerons, qu'on peut exprimer </(«) au moyen de la fonction ^:'(u). 



Remplaçons à cet effet u par ii — Ij-Hl — : et v par -^~^ — - dans la for- 

 mule (46), nous en déduirons 



(95) (7 (m Uy)0{u -- U2) = 



formule, qui subsiste pour toutes les valeurs des quantités iii et u.r, de 

 même nous trouverons 



(90) a(u — i-j) a(u — 1^2) = 



-<"- H^l I" (-^)V {" - ^) - » (^)| ■ 



Appliquons ces deux formules à l'équation (81), nous en obtien- 

 drons, d'après l'équation (80), 



(97) ■^^«) = C- 



.(^i^)',(_^)_,(i^)' 



ce qui démontre le théorème suivant. 



Théorème 1 V. Soit (f\u) une fonction elliptique du second, ordre ayant 

 le^ périodes 2ty , 2 eu' et admettant les zéros u,, Uj et les infinis Vj, v», et 

 supposons que 



«i + «2 = î'i -I- î'e , 



