Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 17 



en dèsiijnant par « , ß , j' , d des (juantitcs constantes, qui jouissent de la 

 propriété, que aâ — ßy ne s'évanouit pas; en choisissant les inßnis v,, v^ ainsi 



que la quantité ~- ne soit pas une somme de multiples des périodes, le 



coefficient y sera différent de zéro. Dans le cas^ oh (/(u) a l'infini doidUe 

 V,, 0« aura aussi 



ou a , ß sont des constantes, et oh c. ne s'annide 2)as. 



Soient (piii) et i/'(«) deux fonctions elliptiques du second ordre 

 aux mêmes périodes 2cy, 2tü', et désignons par i\ , v^ les infinis de q){u) 

 et par i\' , i^' les infinis de i/X")- Supposons de plus, que l'on ait 



(100) V, + (-2 = ?',' + V.,' . 



En appliquant le théorème précédent aux fonctions q{u) et i/'(m), 

 nous en obtiendrons 



Vi + i\ 



(101) (/^(u) = 



'^p(«--^^^'-J + /^' 



,p(._^^J^) + .y 



et 



(102) ./'(«) 



î^i 4- î^a 1 , V' 



2 

 où ((()' — ßy et a\y — ß'y' ne s'annulent pas. De l'égalité (100) on tire 



(103) p(„_".+Ji) = ,(„_'i4:ü'), 



et en éliminant cette quantité entre les équations (101), (102), nous en 

 obtiendrons 



/104) öip{:u)—ß ^ ()"i//(;<) — /j' _ 



y(p(u) — f y'yj(ii) — r/' 

 en faisant 



(105) C, = y'â - yà^' , C, = ß'y - r/.V , C, = mV _ ßy' , C, = a'ß -aß' , 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 



