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l'équation (104) pent s'écrire 



(106) CMii) ipiu) + C^in) + CMn) + ^3 = . 



Des équations (105) on déduit " 



(107) C„ C, - C, C, = («,V - /?;')(r/'r _ /?';/) , 



et, par suite, la quantité C„ C, — 6'i fa i^c s'annulera pas . 

 Par là nous avons démontré ce théorème. 



Théorème VI. Soient «/'■(u) et >f'(_ui deux fonctions elllptique.t du se- 

 cond ordre aux mêmes périodes, et supposons, que la somme des infinis soit 

 la même pour ces deux fonctions.^ il e.ciste entre elles une relation de la forme 



c,(p{u)xp(u) ^- c.f/oo + c.iiiu) + c; = o , 



oll C„ , Cl , C2 , C3 sont des constantes, qui jouissent de la propriété, que 

 Co Cg — Cl C2 ne s'annule pas. 



De ce théorème nous déduirons quelques corollaires. Soient (p{u) 

 et ip(u) deux fonctions elliptiques du second ordre aux mêmes périodes; 

 en supposant que la somme des zéros soit la même pour ces fonctions, 

 les expressions 



1 1 



(p{u) ' yj{u) 



seront évidemment des fonctions elliptiques du second ordre, et pour 

 ces fonctions la somme des infinis sera la même. En appliquant à ces 

 fonctions le théorème précédent, nous obtiendrons une égalité de la forme 



(108) . f ° . ^ +4~ + ~~ + Cs = , 



où CgC^ — C1C2 ne s'évanouit pas. Remplaçons Co, Ci, C2 1 C^ par C'3 , 

 Ci, Cl, Co, nous déduirons de l'équation (108) 



(109) CoCf(u)yj(u) + C\q{u) + CM'') + C3 = , 



où la quantité C0C3 — Ci C2 est différente de zéro. 

 De là résulte le corollaire suivant. 



Corollaire 1. Soient y(u) et (//(u) deux fonctions elliptiques du second 

 ordre aux mêmes périodes.^ et supposons, que la somme des zéros soit la même 

 pour ces deux fonctions, il existe entre elles une relation de la forme 



