DÉDUCTION DES l'ROrRlKTÉS PRINCIPALES DE LA FONCTION etC. 19 



Coip(u)i{j(;u) -f Ci(p(u) + CiXpiii) -f C's = , 



oa Cq , Cl , Ca , C3 (lésiçjnent des constantes^ qui jouissent de ta propriété, 

 que CflCs — Cl Co ne s'annule pas. 



En supposant que les fonctions ^j(w/) et ip{a) admettent les mêmes 

 infinis, nous aurons d'après le théorème VI 



(110) Co (/■<»,) ip{i^) + C, ./ («) + 6, ^(w.) + t', = , 



où C0C3 — Ci_Ci ne s'annule pas, d'où l'on tire, en divisant par (p{ii) ip{u)^ 



(111) Co + -^ + -^+ .^], , =0 • 



,(/;(m) (/-(m) (f\u) tpiii) 



Désignons par i^i un infini commun des fonctions (/(w) et i/^(m), et 

 faisons u = Vi dans l'équation (111), nous en déduirons 



(112) ^ Co = , 

 et par suite l'équation (110) peut s'écrire 



(113) CM>^) + ciip{in + c, = , 



où la quantité dC, est différente de zéro, ce qui démontre ce corollaire. 



Corollaire 2. Soient (f.'{n) et ip{u) deux fonctions elliptiques du second 

 ordre aux tnènies piériodes et aux mêmes infinis^ il existe entre elles une rela- 

 tion de la forme 



C,'K") + <^2V'(") + C3 = , 



ou Cl, C2 , C3 sont des constantes, qui jouissent de la propriété, que CjCj 

 ne s'annule pas. 



Supposons, que les fonctions ([{u) et ip(_u) admettent les mêmes 

 zéros, nous aurons d'après le corollaire 1 



(114) C'o'K«) </'(") + c\ <r{u) + a if>{u) + 1', = , 



où CoC-i — C1C2 ne s'évanouit pas. Soit »1 un zéro commun des fonctions 

 (p{u) et (/»(m), on obtiendra de l'équation (114) par la substitution u = Ui 



(115) C, = , 



