Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 21 



sont incongrues à i\ et à rj; puisque la fonction ^(m) ne devient infinie 

 que pour u^Vi et pour u^^v-j^ on en conclura, que les quatre quantités 



(121) , (^) , , {^' + „,) . , (^ + „") , , (^JLli + .-) 



seront finies. 



Dans le cas, où f/(») admet l'infini double u, , les trois quantités 



(122) ''i + '^ > ^'i + "j" 1 ''i + t"' 



sont évidemment incongrues à ?', ; puisque dans ce cas la fonction (p(uy 

 ne devient infinie que pour m^^Ti, nous en conclurons, que les trois 

 quantités 



(123) (p(Vi + tw) , y,(l', + eu'") , y(f', + tu') 



seront finies. 



De là résulte ce théorème. 



Théorème VII. Si la fonction elliptique y(u) du second ordre, ayant 

 les périodes 2u), 2co', admet les deux infinis simples v,, v^ , les quantités 



9 (-^^) , . (^'- + <") . . (^ + "-■') . , (^ + »') 



seront finies; si la fonction y(u) admet l'infini double v,, les quantités 



ffi^'i + ^) , f/'(t'i 4- t^") > 9'("i + «^O 

 seront finies. 



Supposons que la fonction (f.{H) ait les deux infinis simples u, , v^ , 

 et désignons par a une quantité telle que la quantité 



soit finie, l'expression 



.00 - . (^f ^ + «) 



sera une fonction elliptique du second ordre a_yant les infinis simples 

 u, et v^. Cette fonction admet évidemment le zéro ' 



(124) w/ = ^^L±^ + a 



