Déduction des propriétés principales dk la fonction etc. 23 



et puisque la somme des zéros est égale ;\ la somme des infinis, le se- 

 cond zéro sera 



(130) iii — V'i — a . 

 En y faisant successivement 



(131) a = u) , a = ut" , n = œ' , 



ce qui est permis d'après le théorème Vil, nous trouverons, que chacune 

 des trois fonctions 



(132) ç.(u) — q,{i\ + V)) , ^,((0 — y(r, + w") , ^(ii) - (p(v, + w') 



admet l'infini double Vi, et que la première de ces fonctions a le zéro 

 double ÜJ -|- CÜ , la deuxième a le zéro double y^ -j_ cw" , la troisième a le 

 zéro double t'i + a»'. Ces trois fonctions n'ayant pas de zéro commun, 

 on en conclura, que les trois quantités 



(133) (f(vi + w) , (f(i\ + u)'") , (p(vi + o)') 

 seront inégales entre elles. 



Théorème VIII. Si une fonction elliptique ^(u) du second ordre aux 

 périodes 2w, 2a»' admet les deux infinis simples Vj, Vj, les quantités 



seront inégtdes entre elles; si la fonction y(u) admet l'infini double v,, les 

 quantités 



seront inégales entre elles. 



Choisissant les infinis u, et v^ de la fonction (p(ii) de la manière, 

 que le quotient ^ — - ne soit pas une somme de multiples des pério- 

 des, on peut d'après le théorème V mettre (f>[u) sous la forme 



(134) y(u) = 



7p[--'^) + ^ 



