Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 25 

 Nous mettons cette équation sous la forme 



(141) V,[n+'^1 



"i + ''i 



+ C,W* + C,U* + C,U^ + C^ll^ + 



où les coefficients r„, Cj , c,, <?3, r^ sont donnés par les formules 



(142) c„ = « , ..= - «^^ , c,= '^^::^:/! , 



/' r y y 



c = _ "^-ÊL (^ _ ^1 c = ""l^M^l _ '^>^ ^ -M 



r V 



/' V 10;, ■ 28^ 



De la deuxième de ces formules on peut conclure, que le coeffi- 

 cient q ne s'annule pas. En éliminant les deux quantités 



aâ — ßy â 



y y 



entre les équations (142), nous en déduirons 



(143) 



Ca — <^I <^s _ ffi^ 2 Cl Cg 6'g — C^C^ — C2 _ Çg 



cl 



20 ' cl 28 



Par là nous avons démontré le théorème suivant. 



Théorème IX. Soit (p{u) une fonction ellijjtique quelconque du second 

 ordre aux j}ériodcs 2tw, 2w' ; en choisissant les infinis Vj, Vj, de cette fonc- 

 tion ainsi, que la quantité - * ~ ' ne soit pas une somme de multiples des 

 périodes, nous aurons dans les environs de u = une égalité de la forme 



'( (" + ^'' ^ ^'' ) = t-o + cy + i'2n* + c.u' + c^u^+ .... , 



oh les coefficients c^ , Cj , c^ , C3 ,. c^ jouissent des propriétés, que Cj ne s'an- 

 nule pas.1 et que 



t'a — Cl Cj ^ 92 '^c^^c^ — Cl g « — ^2 _ if 

 ci 2Ö ' 



c\ 



3 

 28 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



