26 v A. Berger, 



§ 3. 



SUR LA DÉRIVÉE DE LA FONCTION ELLIPTIQUE GÉNÉRALE 



DU SECOND ORDRE. 



En désignant par gi(a) une fonction elliptique du second ordre 

 aux périodes 2io, 2w', la dérivée ^'(u) ^^^"^ évidemment une fonction 

 elliptique ayant les mêmes périodes, et la fonction (fi'{u) ne deviendra 

 infinie que pour les valeurs de u, qui rendent q)(ii) infinie. Si la fonc- 

 tion (p(ii) admet deux infinis simples y,, »21 SP'C") ^"i"^ 1^^ infinis doubles 

 Ü, , «2, et par suite (p'Çu) sera une fonction elliptique du quatrième ordre, 

 mais si la fonction y^(jt) a l'infini double t'i, la dérivée ^'(m) aura l'infini 

 triple l'i, et par conséquent (f>Xii) sera une fonction elliptique du troisième 

 ordre. Maintenant nous déterminerons les zéros de la dérivée y'OO- 

 Par differentiation on déduit de l'équation (83) 



(144) <f.'(v, + V.2 — u) = — (f\a) . 



Supposons, que la fonction y(«) ait les deux infinis simples «1, 

 f'2, et substituons dans l'équation (144) successivement 



(145) u = «y 2 ^ M = ' X ^ 4. to , « = -* I +(« , u =: ^^ -fco , 

 nous en tirerons, la fonction (f{a) admettant les j^ériodes 2œ , 2u}' , 



(146) ^'(^t~) = -^'(""t'^)' 



(147) ,'p^+3_ + c«) = _,'(-^:L±j:.+a,), 



(148) ,' (_«i + -^ + a,'') =_,'(^''-+^^ +.''), 



(149) ^'(^ + c.') = _,/(^'_+«^+.'), 



La dérivée <p'(u) étant finie pour toutes les valeurs de a, qui ren- 

 dent (fj{u) finie, on conclura du théorème VII, que les quantités, qui 



