Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 27 



entrent dany les équations (146), (147), (148), (149) sont finies, et par 

 suite on en obtiendra 



(150) ,•(■•■ + ■■') = », ,/ ("■ + "• +.)=<), ,/("l±ii + ./') = , 



Supposons, en second lieu, que la fonction y(«) ait l'infini double 

 üj , la formule (144) peut s'écrire 



(151) y/(2i., -«) = -y'(«) ; 



en y faisant successivement 



(152) u = i\ -(- OJ , u = i\ -f lo" , ti = i\ + u/ , 



nous en obtiendrons 



(153) <f.'(v, + ai) = — ^'(w, + w) , 



(154) g>'(v, + w") = — y'(üi + to") , 



(155) y'(«'i + "}') = - y'C^i + "^') • 



Puisque les quantités, qui entrent dans ces équations sont finies 

 d'après le théorème VIL on en déduira 



(156) cf.'iv, + w) = , ^X^\ + '«") = Ü , 9)'(«, + to') = . 

 Des formules (150) et (156) résulte ce théorème. 



Théorème X. Soit ^(u) une fonction elliptique du second ordre aux 

 périodes 2u) , 2œ'; si la fonction y(u) a les deux infinis simples \\, v^, la 

 dérivée g)'(u) i^era une fonction elliptique du quatrième ordre ayant les zéros 

 simples 



2 ' 2 ^ 2 2 



et les infinis doubles v, , v^ ; mais si la fonction (fin) a l'infini double Vi, 

 la dérivée ^(u) sera une fonction elliptique du troisième ordre ayant les zéros 

 simples 



i"i + "J 1 «'i + ^" > î'i + "'' 

 et r infini triple v,. 



