28 A. Berger, 



Corollaire. La dérivée d'une fonction elliptique du second ordre n admet 

 que des zéros simples. 



D'après cela nous déduirons une relation entre une fonction ellip- 

 tique quelconque (p{u) du second ordre et sa dérivée; à cet effet nous 

 distinguerons les deux cas suivants. 



1) Supposons, que la fonction (p[u) ait deux infinis simples Uj , Uj, 

 nous aurons d'après le théorèlne V 



Vi + Vi 



(157) 9>(") = 



up[u-'^J±] + ß 



OÙ uà— ßy et ;' ne s'évanouissent pas. D'après le théorème VII les 

 quatre quantités 



(158) y ( ' ^ '-) ,<p [-'-f^ + <») ^ V i-^f— + '^ ) ^ f>[ ^- +^ 



sont finies, et des équations (157) et (52) on tire 



(159) ,C^i-)..«,,(^+.)=^±f , 



et par suite les dénominateurs de ces fractions seront différents de zéro. 

 Des équations (157) et (159) on déduit 



•(160) y Cu) - ^. (-^+i'_^ ) = -J^dhL^^ , 



y jypi^U 1^- j + '' \ 



(161) ^(u) - y. (^'i±^ + C«) = 



2 



iacJ-ßy)\p{u-'^^^±-'-^)-e, 

 (^e,+â)\yp{uZh±l-^) + ô^\ 



(aa-ßy)\p{u-'^±ll)-^e,\ 



(162) 9,(u) - <p -'-^ + ^ = — — 7:rir\^T; 



