30 ' A. Berger, 



(171) (f{u) — (p(v, 4- m") = a{p(ii - u,) — (?,} , 



(172) (fill) — (f{vi -{- Vi') = a {p(ii — Vi) — e^] . 

 Par differentiation on obtiendra de l'équation (167) 



(173) <fXti) = apXn - v,) ; 



en y appliquant la formule (54), nous en tirerons 



(174) y»' = ^n'{p{u - Vi) - ö,}{;<« — vO - e,}{p(_a — u.) — ^3} , 

 et des équations (170), (171), (172), (174) nous obtiendrons 



(175) (f'(ay = A'I^C«) — 9>(wi + t")}{»(") — <f{vi + w")}i^(«) — (f(vi + ">')}• 



Des formules (166) et (175) résulte le théorème suivant. 



Théorème XI. Soit g>{u) une fonction ellij)tique du second ordre aux 

 périodes 2 a», 2a',- si la fonction ^(u) admet les deux infinis simples Vj, v.^, 

 on aura 





mais si la fonction y(u) a l'infini double v^ , on aura 



ifXiCf = A'{y;(îO - (/)(?', + cw)] {y(yO — (f{i\ + w")} {9;(?0 - y(y, + w')} , 

 en désignant par K î^nt' constante dans les deux formules. 



I De ce théorème on peut conclure, qu'il existe entre une fonction 



elliptique quelconque (f{u.) du second ordre et sa dérivée (fXu) une rela- 

 tion de la forme 



(176) ^'O^y = ^0 9>(")* + 4ai^(M)^ 4- 6a.^ (f{iif + ^a^ (p{u) -f a^ , 



où «(,, aj, a^, «3, a, désignent des constantes telles, que a„ et a, ne 

 s'annulent pas simultanément. Il est évident, qu'il n'existe qu'une seule 

 relation de cette forme entre (f{u) et ^'(m), car autrement deux fonctions 

 entières de <f(ii) du troisième ou du quatrième degré à coefficients inégaux 



