Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 31 



coiucideraient pour toutes les valeurs de y('0? ce qui est évidemment 

 impossible. 



En posant 



(177; ^(«) = ~. , 



ip{ii) sera aussi une fonction elliptique du second ordre, dont les zéros 

 coïncideront avec les infinis de la fonction y(«), et dont les infinis coin- 

 cideront avec les zéros de y(«), et des équations (17G) et (177) on ob- 

 tiendra 



(178) tpXuy = a, ip(ay + 4«, ,p(uy + 6a, xp^ii)' + 4a, ,//(«) + a„ . 



Des équations (176) et (178) nous déduirons quelques propriétés 

 des coefficients a^, a,, a., a^, a^. En appliquant le théorème VIII au 

 théorème XI et à la formule (176), on trouvera, que le polynôme 



(179) a, y/ + 4 a, ^ '^ + 6 a, 9)^ + 4 a, y- + a, , 



considéré comme fonction de cf, , n'a que des zéros simples. Maintenant 

 nous distinguerons les cas suivants. 



1) Si la fonction yi(a) admet deux infinis simples, la fonction ipijii) 

 aura deux zéros simples; par suite ip{ii) et ip'{u) n'auront pas de zéro 

 commun, et de l'équation (178) on peut conclure, que «„ ne s'annule pas. 



2) Si la fonction ^(m) a un infini double, la fonction j/;(w) aura un 

 zéro double ; par suite tp(u) et i//'(m) auront un zéro commun, et de 

 l'équation (178) on conclura, que a^ s'annule. 



3) Si la fonction (p(u) admet deux zéros simples, les fonctions (f{u) 

 et (f)'(u) n'auront pas de zéro commun, et de l'équation (176) on peut 

 conclure, que a^ ne s'annule pas. 



4) Si la fonction (p(ic) admet un zéro double, les fonctions if{uj 

 et q) {il) auront un zéro commun; par suite on conclura de l'équation 

 (176), que a^ s'annule. 



Par là nous avons démontré ce théorème. ^ 



Théorème ÅII. Entre une fonction elliptique quelconque du second 

 ordre y(u) et sa d ''rivée y'(u) il existe une relation de la forme 



9) '(■(/.)' = a„(f{uy + 4 a,(f.(uy + 6a.^ (f{uy -|- 4a:jf/,(«) + a^ , 



ou ao, a,, a^, a;,, a4 ilésignent des quantités constantes, qui jouissent des 

 propriétés suivantes. 



