Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 33 



où les coefficients A„, .4, . . . A„ et iJ», ^i, . . . B„ dépendent de a«» 

 üi . . . n„ et des coefficients de substitution ß et ;'. Cela posé, nous 

 établissons la définition suivante. 

 Soit 



w N „ n n-i nfn— 1) ,,_o , , ?i 



une fonction entière, dont le degré est au plus égal à n , et supposons, 

 que par les substitutions 



\r = ßy-\.y , ,v = — 



ßy 



cette fonction se transforme en 



fißy + y) = Å,f + ^ .4,.v"-+ ^^ Å,f'^ + .-. + \ A„_,y + yl„ 

 et en 



Åp-) = „;. !^.*" + 'î *■."-+ -^r^^ ^.*"-'+ • • ■ + ï ^-.' + ^-1 ■' 



s'il y a une fonction entière homogène 



H{a^, , a, , «2 , . . . a„) 



des coefficients a^ ^ a^ , a^ , . . . a„ , qui satisfait aux égalités 



H{Â, , A, , . . . A„)= ß"H{a, , a. , . . . a„) 

 et 



H{B, , 5, ,...£„) = /9"^(a,. ,«,,... «,.) , 



?t' étant un nombre entier, l'expression 



H{a,, , a, , . . . a„) 



est dite invariant de la fonction f{x). 



Cela établi, nous montrerons l'existence d'invariants de la fonction 

 entière 



(184) f{x) = a^a-* + 4a, .r* + ^a^x^ -f- 4a3.7- -f a^ , 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III, 6 



