36 A. Berger, 



Des formules (188) on tire 



(203) B,B, B,+ 2B, B, B, -B,Bl- B\ B, - 5? 



= /3* (aoög «4 4-2«, aa^s — a,, «3 — ala^ — ai) , 

 et, d'après les équations (202) et (203), l'expression 



(204) Js = «0 0^8^4 + 2a,a2ag — cioal — aia^ — al 



sera un invariant de la fonction (184). 



Par là nous avons démontré ce théorème: 



Théorème XIII. La fonction entière 



a^x* -\- 4a,,i'* -)- 6 a^x' 4- 4as.c -[- 04 , 



dont le degré est au plus égal h 4, a les invariants 



J2 = «0 ^4 — 4 «j «3 -}- 3 al 

 et 



J3 = aQa2a^ -)- âaiaga^ — (/0^? — ^ï'^4 — '^l • 



Soit x une fonction de la variable indépendante u, et supposons, 

 que l'on satisfasse à l'équation différentielle à coefficients constants 



(205) (— )' = «0 ^^'* + ^ n,x^ + 6 «2 A-^ + 4 a^x + a, 

 ^du ' 



dans les environs de ?< = en prenant 



(206) X = (.'o + 6', u^ + i\ u* -\- Csu'^ -(- fiu^ -1 , 



où le coefficient e^ ne s'annule pas. Par la substitution 



(207) ^ = y+<-'o 



on trouvera, que l'on satisfait à l'équation différentielle 



(208) (4^Y= a„(y + c,y + åa,(>/ + Cof + &a,(y + cj + åa.iy + c«) + a, 



par la série 



(209) y = c. II' + c, u' + c, u' + i\u' -] 



