Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 39 



§5. 



SUE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA FONCTION ELLIPTIQUE 

 GÉNÉRALE DU SECOND ORDRE. 



Si ron désigne par (f(u) une fonction elliptique quelconque du 

 second ordre aux périodes 2tu , 2a>', on aura d'après le théorème XII 



(1^20) ipXuy = a,<f(uy + ia^<f{uy + 6a,(f(uy + 4a3y(M) + a, , 



formule qui subsiste pour toutes les valeurs de u. Par suite la fonction 



(221) x = cf{u) 

 satisfait à l'équation différentielle 



(222) (^) = ay + -iay + 6a,x' + -ia^.v + a, . 



Désignons par k une quantité constante quelconque, et remplaçons 

 ih par u -f k dans l'équation (220), nous en obtiendrons 



(223) </■■'(« ■\-kf = %(f'{u + ky + 4«, (/.(u + kf + 6a^(f{u _(- kf + 4:a^(p{u + A;) + a^ ^ 

 formule qui montre, que la fonction 



(224) X = <f{u + Â;) 



satisfait à l'équation différentielle (222), quelle que soit la constante k. 

 En choisissant les infinis v^ et v^ de la fonction ^(m) ainsi, que la quan- 



tité — L ne soit pas une somme de multiples des périodes, et en 



faisant 



(225) k = '■'' + "^ , 



nous trouverons, que la fonction 

 (226) x = ,,(u-\- 



i\ + V. 



2i 



satisfait à l'équation différentielle (222). 



