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A. Beröer, 



Par application du théorème IX il s'ensuit, que l'on satisfait à 

 l'équation différentielle (222) par une série de la forme 



(227) 



« = <^o + «-'i"' + <'2^*' + <-V<-^ + '-V'-^ + 



où 6'i ne s'annule pas, et où c, , c^ , c, , c^ jouissent des propriétés, que 



(228) 



~ 20 ' ~ 



cï 



c? 



28 



Mais puisque la série (227). où ri ne s'annule pas, satisfait à 

 l'équation différentielle (222), on conclura du théorème XIV. que 



(229) 



20^ 



t-î ' 28 



<\ 



et des équations (228), (229) on déduit 



(230) /2 = 92 , Ji = .'7. • 



Par là nous avons démontré le théorème suivant. 

 Théorème XV. Toute fonction elliptique 



.r = f/-(«) 



dxi second ordre aux périodes 2w , 2 eu' satisfait a une équation différentielle 

 de la forme 



(_) = a.x^ + 4aia;' + %a.,x^ + ^a^x + a^ , 

 ^du' 



ou 'A^ , aj , a^ , ag , a,^ sont des quantités constantes, et en désignant par Jj 

 et J3 les invariants du polynôme 



a savoir 



un aura 



a^x* -|_ 4a,a;' + 6 a^a''' + éa^x -\- a^ , 



J2 = a^a^ — 4 a-fii^ _|_ 3 a| , 



Ji = aoa^a^ -\- 2 aiaja, — agal — «^04 — ßg , 



