DÉDUCTION" DKS PROPRIÉTÉS PRINCIPAI-KS DE LA FONCTION etC. 41 



D'après le théurèine I la fonction elliptique générale <p(^u) du se- 

 cond ordre est de la forme 



(231) <f{u) = <^vl("..-^Mt« -J^ ^ 



a(u _'U,)fT(M —Vi) 



où 



(232) y/, + «., = i\ -f- V, . 



Conforniénieiit à la définition (2) la fonction n{u) contient les 

 deux constantes arbitraires 2a», 2co', et puisque les quatre quantités 

 M, , «2 , Vi ^ V2 ne sont liées entre elles que par la condition (232), la 

 fonction (f{a) renferme d'après la formule (231 six constantes, indépen- 

 dantes les unes des autres, à savoir 



1) les deux périodes 2i« , 2w', 



2) trois des quantités ii^ . n^ , i\ , v^ , 



3) le facteur constant C. 



et par ces six constantes la fonction (pÇu) sera parfaitement déterminée. 

 Puisque la fonction x = (f(ii) satisfait à l'équation différentielle 



(233) (^V = «,, x' + 4 a, œ' + 6 a., .c' + 4 a, x + «, , 



mais ne satisfait pas à d'autres équations différentielles de la même forme, 

 les coefficients a^ , a^ , a^ , as , a« seront parfaitement déterminés par les 

 six constantes susdites, et en général ces coefficients dépendront de 

 toutes ces constantes. Quant aux invariants Jg 1 «^3 , ceux-ci sont égaux 

 à //2 , _</;. d'après le théorème précédent; donc on peut conclure des for- 

 mules (78), que J^ , Jz ne dépendront que des périodes 2co , 2cu' , et que 

 ces quantités seront indépendantes des zéros et des infinis de la fonction 

 i({u) et de la constante C. 



Maintenant nous introduisons les racines du polynôme, ([ui se trouve 

 dans le second membre de l'équation différentielle de la fonction ifi(u). 



1) Supposons, que la fonction ifi(ii) admette deux infinis simples, 

 le coefficient a„ ne s'annulera pas; le polynôme 



(234) a^x^ -f 4 rt, x^ -f 6 a, ,r* j^ Aa^x -\. a^ 



sera donc du quatrième degré; en désignant ses racines par a-,,, .ï, , x^, 

 .rj , nous aurons 



4« 



(235) ^0 -h X, + .V, + .i'3 = - - ' , 



Nova Acta Keg. Soc. Sc. Up.?. Ser. III. 6 



